Calculadora binomial

La distribución binominal mide la distribución de probabilidad discreta, es decir, saber la probabilidad de éxito en una secuencia de ensayos

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La distribución binominal tiene la función de medir la distribución de probabilidad discreta en estadística. Esto quiere decir que la distribución binominal sirve para saber la probabilidad de éxito contando el número de éxitos en una secuencia de ensayos llamados Bernoulli, los cuales son independientes entre sí, obteniendo datos relevantes, antes de llevar a cabo la investigación.

Por eso, con la calculadora binominal de es.calcuworld.com podrás averiguar cuál es la distribución binominal de una serie de ensayos con unos aciertos y una probabilidad determinadas.

¿Qué es la distribución binominal?

Una distribución binomial es una distribución de probabilidad que describe el número de éxitos al realizar «n» experimentos independientes entre sí, acerca de una variable aleatoria. Existen una gran diversidad de experimentos o sucesos que pueden ser caracterizados bajo esta distribución.

Más matemáticamente, la distribución binomial es una distribución discreta basada en dos parámetros: n el número de experimentos realizados, y p el posible éxito de los mismos. Para cada experimento llamado ensayo Bernoulli, utilizamos variables aleatorias que toma el valor 1 cuando se consigue un éxito y el valor 0 en caso contrario, como forma de medición y comprobación de los resultados que posiblemente se pueden obtener.

Cómo aplicar la fórmula

Es importante tener en cuenta qué la fórmula, representa cada valor de la distribución binomial, y de todos los elementos que la componen «p» será el éxito, «q» será el fracaso y «n» representará el número de ensayos y experimentos que se lleven a cabo.

La fórmula para saber x éxitos en n ensayos es la siguiente:

P(x) = (nCx) * p^x * q^(n-x)

Donde:

  • nCx es el número de combinaciones de n ensayos tomados x a la vez.
  • p relacionada con el éxito de cada ensayo
  • q relacionada con el posible fracaso (q = 1-p).
  • x es el número de éxitos que se desean contar.

Ejemplos de como calcularla

Como hemos comentado, la distribución binomial se utiliza para conocer un número fijo de eventos en un ensayo aleatorio. A continuación, te mostramos algunos ejemplos para ilustrar su uso:

1. Supervivencia de exactamente 2 plantas de jitomate

Supongamos que el 70% de una especie de jitomate sobrevive después de ser trasplantada de la maceta al jardín. Al tratar de trasplantar 3 de estas plantas de jitomate de manera independiente, también queremos conocer la probabilidad de que exactamente 2 plantas sobrevivan.

Para resolver este problema, usamos la probabilidad binomial. Tenemos p = 0.7, q = 0.3, n = 3 y k = 2. Sustituyendo los datos, obtenemos:

P(X = 2) = (3!/(2!*(3-2)!)) * (0.7^2) * (0.3^(3-2)) = 0.441

Por lo tanto, las probabilidades de que exactamente 2 plantas sobrevivan son del 44.1%.

2. Tirar una moneda al aire

Supongamos que se tira una moneda al aire 5 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara 4 veces?

En este caso, el número total de ensayos es n=5, y se desea que el evento (cara) ocurra k=4 veces. Sabemos que la probabilidad de éxito en un solo ensayo es p=0.5 (ya que hay dos resultados posibles, cara o cruz, y cada uno tiene la misma probabilidad de ocurrir).

Por lo tanto, podemos utilizar la fórmula de la probabilidad binomial para obtener la probabilidad en 5 ensayos:

P(X=4) = (5! / 4!(5-4)!) * 0.5^4 * (1-0.5)^(5-4) = 0.15625

Por lo tanto, la probabilidad de que salga cara exactamente 4 veces en 5 ensayos es del 15.625%.

3. Efectos secundarios de los medicamentos

Los profesionales médicos utilizan la distribución binomial para modelar la probabilidad de que un cierto número de pacientes experimente efectos secundarios como resultado de tomar nuevos medicamentos.

Por ejemplo, supongamos que se sabe que el 5% de los adultos que toman un determinado medicamento experimentan efectos secundarios negativos. Si 10 adultos toman el medicamento, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 2 de ellos experimenten efectos secundarios?

Podemos utilizar la distribución binomial para saber la probabilidad:

P(X=2) = (10 C 2) * (0.05)^(2) * (0.95)^(8) ≈ 0.074

Por lo tanto, la probabilidad de que exactamente 2 de los 10 adultos experimenten efectos secundarios es de aproximadamente 0.074.

Ejercicios de distribución binominal + Solución

Te presentamos a continuación, algunos ejemplos de ejercicios de distribución binomial resueltos:

Ejercicio 1: En un taller, el 3% de las piezas tiene algún defecto. Saber la probabilidad de que en una muestra de 15 piezas, se encuentren 5 defectuosas.

Solución: Se sabe que p = 0.03 y q = 0.97 (ya que la probabilidad de éxito es el complemento de la probabilidad de fracaso). Además, n = 15 y x = 5. Entonces, la probabilidad de encontrar exactamente 5 piezas defectuosas es:

P(X = 5) = (15 C 5) * (0.03)^5 * (0.97)^10 = 0.129

Ejercicio 2: En un examen de matemáticas, la probabilidad de acertar una pregunta de opción múltiple es del 25%. Si un estudiante responde al azar 10 preguntas, ¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente 3 preguntas?

Solución: Se sabe que p = 0.25 y q = 0.75. Además, n = 10 y x = 3. Entonces, la probabilidad de que el estudiante acierte exactamente 3 preguntas es:

P(X = 3) = (10 C 3) * (0.25)^3 * (0.75)^7 = 0.250

Ejercicio 3: Se sabe que el 70% de las personas que ingresan a una tienda realizan una compra. Si se toma una muestra aleatoria de 100 personas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 60 de ellas realicen una compra?

Solución: Se sabe que p = 0.7 y q = 0.3. Además, n = 100 y se busca la probabilidad de que X sea mayor o igual a 60. Para conocer esta probabilidad, se puede utilizar la distribución binomial acumulada:

P(X >= 60) = 1 – P(X < 60) = 1 – P(X <= 59)

Utilizando una tabla de distribución binomial o una calculadora estadística, se puede obtener que P(X <= 59) = 0.047. Por lo tanto:

P(X >= 60) = 1 – 0.047 = 0.953

Ejemplo de Tabla de la distribución binominal

Para poder crear una tabla de distribución binomial, se requiere conocer el número de ensayos realizados y la probabilidad de éxito de cada ensayo.

En una distribución binomial, el número de éxitos obtenidos en n ensayos independientes sigue una distribución de probabilidad binomial. Las variables aleatorias X se define como el número de éxitos obtenidos en los n ensayos independientes. La media μ y la varianza σ^2 de la distribución binomial son μ = np y σ^2 = npq, donde p es la probabilidad de éxito en cada ensayo y q es la de fracaso por ensayo, es decir, q = 1 – p.

A continuación, te mostramos una tabla de distribución binomial con valores de probabilidad para n=10 y p=0.5, donde n es el número de ensayos realizados y p es la probabilidad de éxito en cada ensayo.

X P(X=x)
0 0.000977
1 0.009766
2 0.043945
3 0.117188
4 0.205078
5 0.246094
6 0.205078
7 0.117188
8 0.043945
9 0.009766
10 0.000977

¿Cómo funciona la calculadora de distribución binominal?

Para utilizar esta calculadora de matemáticas y saber la distribución binominal deberemos seguir una serie de pasos rápidos y sencillos:

  1. Introduce la cantidad de ensayos en la primera casilla (la n de la fórmula de distribución binominal)
  2.  Coloca la cantidad de aciertos en la segunda casilla (Ia x de la funcción de distribución binominal)
  3. Añade también en la tercera casilla el porcentaje de probabilidad de la distribución binominal.
  4. Finalmente, pulsa sobre el botón Calcular,

¿Cuándo se usa la distribución binomial?

La distribución binomial se utiliza para modelar procesos donde los resultados pueden ser etiquetados como un evento o no evento, y se está interesado en la ocurrencia de un evento y no en su magnitud.

En general, la distribución binomial se aplica en cualquier situación donde se puedan agrupar los ensayos en dos clasificaciones (éxitos y fracasos) y la probabilidad de éxito sea constante.

Esta distribución se puede utilizar en procesos de control de calidad donde se inspeccionan elementos y se desea conocer la probabilidad de que un elemento pase o no pase una inspección.

También se puede aplicar en situaciones donde se desea conocer previamente la probabilidad de los resultados, como por ejemplo de que un partido político gane o pierda unas elecciones.

¿Cuál es la relación entre la distribución binominal y la normal?

La distribución binomial y la distribución normal están relacionadas en el campo de la estadística y la probabilidad.

La distribución binomial se utiliza para modelar el número de éxitos en una secuencia de ensayos de Bernoulli independientes, mientras que la distribución normal se utiliza para modelar una amplia variedad de fenómenos naturales y sociales.

En algunas situaciones, trabajar con la distribución binomial puede ser difícil o laborioso, en estos casos, la distribución normal puede ser una buena alternativa para los cálculos.

De hecho, se puede aproximar la distribución binomial a la distribución normal con unos sencillos ajustes, como realizar una corrección de continuidad, esto permite trabajar con la curva normal obtenida hasta obtener la probabilidad deseada

¿Qué valores toma la distribución binominal?

Esta distribución binomial está descrita por dos parámetros: el número de experimentos realizados (n) y la probabilidad de éxito (p) para cada experimento llamado ensayo Bernoulli.

Cualquier experimento que tenga las características descritas anteriormente y en el que n = 1 se llama ensayo de Bernoulli (llamado así por Jacob Bernoulli, quien los estudió ampliamente a finales del siglo XVII).

Los valores que toma la distribución binomial incluyen la media (μ), la varianza (σ^2) y la desviación típica (σ), que se pueden calcular de la siguiente manera: μ = np, σ^2 = npq y σ = √(npq), donde q = 1 – p

¿Cuál es la diferencia entre la distribución binomial y la distribución de Poisson?

La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que se utiliza para calcular la probabilidad de un número fijo de éxitos en un número fijo de ensayos independientes e idénticos.

En la distribución binomial, el número de ensayos y la probabilidad de éxito en cada ensayo se mantienen constantes. Hay dos posibles resultados: éxito o fracaso.

Por otro lado, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que se utiliza para calcular la probabilidad de un número de eventos en un intervalo de tiempo o espacio dado.

A diferencia de la distribución binomial, no se requiere un número fijo de ensayos independientes e idénticos. En la distribución de Poisson, la media y la varianza son iguales, y el número de eventos puede ser infinitamente grande.

La distribución de Poisson se usa a menudo para modelar eventos raros o poco comunes, como accidentes automovilísticos o terremotos

¿Cómo se calcula la media de la distribución binomial?

Se puede calcular usando la fórmula μ = np, donde n es el número de ensayos o repeticiones del experimento y p es la probabilidad de éxito en cada ensayo. Esta fórmula se puede entender como la suma de los valores posibles del experimento, cada uno multiplicado por su probabilidad, es decir:

μ = 0p0 + 1p1 + 2p2 + … + npn

También se puede calcular usando la fórmula de la media aritmética, donde se multiplican los valores posibles del experimento por su probabilidad, se suman y se dividen entre el número de ensayos:

μ = (0xp0 + 1xp1 + 2xp2 + … + npxn) / n

Además, se puede utilizar la relación entre la media y la varianza en la distribución binomial para calcular la media. La varianza se calcula como σ2 = npq, donde q es la probabilidad de fracaso. Entonces, la media se puede calcular como μ = σ2 / p.

¿Cómo se calcula la varianza de la distribución binomial?

La varianza de la distribución binomial se puede calcular utilizando la fórmula σ² = npq, donde n es el número de ensayos, p es la probabilidad de éxito y q es la probabilidad de fracaso (1-p). La media de la distribución binomial se puede calcular como μ = np.

También se puede utilizar la fórmula para la varianza de una distribución de probabilidad discreta en general, que es σ² = Σ[(x-μ)² * P(x)], donde Σ es la suma sobre todos los posibles valores de x y P(x) es la probabilidad de cada valor.


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